Soft Manifesto of Experimental Mathematics

[MrFirst]

It is well known that mathematics, like any science, has a dual nature. On the one hand, it represents an activity of getting new knowledge in its specific field, and on the other hand, it is a sum of knowledge gained at a given moment. That is why in teaching mathematics at all levels, it is necessary that students and pupils should learn mathematical facts and master research skills in mathematics, and both must go on simultaneously and equally. In particular, the process of teaching should include mathematical experiments, because mathematics in the making was an experimental science, and it has retained both bases, theoretical and experimental.

The researcher’s activities with the objects of the material world or their ideal images will be assigned to the field of experimental mathematics, if its results are hypotheses about the properties of mathematical objects and/or mathematical pre-concepts or concepts.

Different nations had various tools of mathematical experiments at different times such as dice, playing cards and coins; square sheets of origami paper; a real pair of compasses, a real ruler, real papyrus and paper (later); an ideal ruler and an ideal compass; a protractor, a double-sided ruler and a stencil of the right angle; a computer, etc.

The computer plays a special role among the tools used in mathematical experiments. Its role in the experiments is so crucial; the obtained results are so interesting and varied, that we can speak about the emergence of experimental mathematics as a special field of mathematics and of the identification of the mathematical experiment with the computer experiment. Apparently, the words “emergence" and “identification” are kinds of hyperbole and in this sense are not accurate, but they reflect a new reality i.e. a sharp increase in the role of the experimental component of mathematics.

It should be mentioned that the mathematical experiments have been actively used in education. Digital educational resources give an opportunity to organize mathematical experiment in the process of teaching and learning. This fact has given rise to strong positive effects on the one hand, and has revealed serious risks, on the other hand.

Mathematicians and teachers of mathematics have a noble goal of learning how to use experimental methods for the development of mathematics and pedagogy of mathematics.


Мягкий манифест экспериментальной математики

Хорошо известно, что математика, как и всякая наука, имеет двойственную природу. С одной стороны, она представляет собой деятельность по получению нового знания в своей специфической области, а с другой стороны, она является суммой знаний, накопленных к данному моменту. Из этого следует, что в процессе преподавания математики на всех уровнях целесообразно добиваться от студентов и школьников как усвоения математических фактов, так и овладения исследовательскими умениями в области математики, причем то и другое должно происходить одновременно и в равной мере. В частности, процесс обучения должен включать в себя математические эксперименты, поскольку математика в процессе своего становления была наукой экспериментальной и до настоящего времени сохранила оба свои начала, теоретическое и экспериментальное.
Деятельность исследователя с объектами материального мира или их идеальными образами будем относить к области экспериментальной математики, если ее результатами являются гипотезы о свойствах математических объектов и/или математические предпонятия или понятия.
В разное время и у разных народов существовали различные инструменты проведения математических экспериментов. К ним относятся кубики для игры в кости, игральные карты и монеты; квадратные листы бумаги для оригами; реальные циркуль, линейка и папирус, а впоследствии бумага; идеальные циркуль и линейка; транспортир, двусторонняя линейка и шаблон прямого угла; компьютер и т.д.
Среди инструментов, с помощью которых ставятся математические эксперименты, особая роль принадлежит компьютеру. Его возможности в постановке экспериментов настолько велики, с его помощью получены настолько интересные и разнообразные результаты, что в последнее время стали говорить о возникновении экспериментальной математики как об особой области математики и об отождествлении математического эксперимента с компьютерным экспериментом. По- видимому, слова «возникновение» и «отождествление» представляют собой некую гиперболу и в этом смысле не точны, однако они отражают новую реальность – резкое возрастание роли экспериментального компонента математики.
Важно, что математические эксперименты стали активно использоваться в сфере образования. Цифровые образовательные ресурсы позволяют организовать математический эксперимент в рамках реального учебного процесса. Это обстоятельство породило сильные позитивные эффекты, с одной стороны, и выявило серьезные риски, с другой стороны.
Перед математическим и педагогическим сообществами стоит благородная цель – научиться использовать экспериментальные методы для развития математики и педагогики математики.

[m.shabanova]

Уважаемые коллеги!
Наша группа занимается разработкой технологии использования систем динамической геометрии (интерактивных математических сред)
в обучении математике. Мы очень заинтересованы в расширении сотрудничества, в открытом и честном обсуждении проблем переноса методологии экспериментальной математики в условия массового математического образования.
Свою позицию мы в отношении этих проблем мы заявили данным манифестом.
Ждем ваших откликов.

[Valery Ryzhik]

Уважаемые авторы!
Есть несколько замечаний и даже возражений, но не в них суть.
Главное.
1) Убеждён, что использование компьютера в школьном математическом образовании будет лучше понято и использовано , если будет изменена его парадигма. Царский путь в геометрию (вообще в математику) , полагаю, существует, и он заключается в переходе на идеологию прикладной математики, в которой использование компьютера только часть методологии.
2) Важна исходная позиция субъекта, использующего компьютер. Я мыслю компьютер так же, как как мыслит физик некий прибор (осциллограф, к примеру).
И тут есть два уровня . Первый (уровень пользователя) - использовать то, что он показывает, не подвергая эти показания сомнению, а только многократно проверяя. Второй (уровень теоретика) - понять, почему он такое показывает.
Одно дело - решать задачи про медианы, зная про их пересечение.
Другое дело - дать этому объяснение.
И ещё важно предвидение.
Вообще, важно вписать использование компьютера в имеющуюся дидактику.
С уважением, В. Рыжик.

[A.Yastrebov]

Уважаемые коллеги!

В определенном смысле я не имею права писать о «Манифесте», поскольку явлюсь одним из его авторов. Если я хочу высказать те или иные мысли, быть убедительным, привлечь сторонников и проч., то это следует делать посредством основного текста, а не последующих комментариев. Тем не менее, пишу, потому что хочу выразить некоторые соображения, возникшие до замысла «Манифеста» и лежащие вне его темы, а именно, на границе этики и философии науки. Вот эти соображения.

1. В качестве преподавателя вуза я вынужден воздействовать на студентов: формировать их знания, ценности, научное мировоззрение, отношение к профессии и многое другое. Очевидно, что для качественного выполнения всего этого я должен знать свойства тех средств, с помощью которых я воздействую на людей. Я должен знать сильные и слабые стороны рекомендуемых мною книг, достоинства и недостатки своих лекций, свойства используемых инструментов… В частности, я должен знать свойства интерактивных геометрических сред (ИГС), используемых в преподавании. А вот с этим дело обстоит не столь уж хорошо, потому что ИГС – относительно недавнее и малоисследованное изобретение. Достаточно сказать, что в математическом образовании школьников многих стран образовался «экспериментально-теоретический разрыв». Думаю, что он является пятном на репутации педагогического сообщества, поскольку произошел от недостаточно продуманного использования ИГС. С этической точки зрения, если один человек воздействует на другого, то он должен знать свойства инструментов воздействия, и при этом совершенно не важно, будет ли это физик со своей лабораторией или полигоном, хирург со своей операционной или преподаватель математики со своей ИГС. Для меня лично «Манифест» – это призыв к исследованию свойств ИГС и пониманию разнотипных эффектов их применения в преподавании математики.

2. Очевидно, что экспериментатор – физик, химик, биолог и проч. – должен знать свойства тех инструментов, которые он использует в своих экспериментах. Нужно знать и пределы измерений, и погрешность измерений, и участок линейности характеристики прибора, и многое другое. Кроме того, экспериментаторам хорошо известно, что инструмент влияет на свойства изучаемого объекта, причем как на макроуровне, так и на микроуровне. При этом совершенно не важно, будет ли физик с амперметром экспериментировать с электричеством, агроном с удобрениями экспериментировать с почвой или школьник с ИГС экспериментировать с математическими объектами. Для меня лично «Манифест» – это призыв к исследованию свойств ИГС и пониманию разнотипных эффектов их применения в изучении математики.

[M.Alferov]

Полностью разделяю позицию Александра Васильевича Ястребова относительно того, что каждый учитель и преподаватель должен знать дидактические свойства и возможности тех инструментов, которые он использует в обучении.
И с этой точки зрения трудно не согласиться с тем. что Манифест – это призыв к исследованию ИГС. На мой взгляд, хорошим примером такого исследования являются методики, разрабатываемые в рамках MITE. Среди прочего, эти методики характеризуются опорой на надежную теоретическую базу, в частности на идею интеграции субъективного и социокультурного опытов И.С. Якиманской. В этих методиках раскрывается потенциал Geogebra как инструмента, позволяющего организовать поэтапное обучение с опорой на индивидуальные и возрастные особенности учащихся.
Перспективной, на мой взгляд, является линия исследований, связанная с рассмотрением ИГС как особого рода знаковых орудий, опосредующих процесс мышления. Своим истоком эта линия имеет концепцию Л.С. Выготского об опосредовании высших психических функций человека знаковыми орудиями. Однако уникальные свойства ИГС (возможность фиксировать не только результат, но и сам процесс мышления, на что еще лет тридцать тому назад обращал внимание, например В.В. Рубцов, правда в более широком контексте – см . например В.В. Рубцов «Основы социально-генетической психологии»), позволяют существенно переосмыслить потенциал этой концепции и ранее спроектированных на её основе педагогических технологий и методик. В более широком, методологическом аспекте, речь идет о том, что такие средства обучения как ИГС позволяют заново отрефлексировать категорию опосредования и на этой основе сконструировать соответствующие методики.

[S.Beshenkov]

Я с очень большим интересом прочитал "Манифест".
Я тоже много думал на эту тему и что-то писал (в далеком 1988 г. вместе с Е.Ашкинузе).
Отношение к экспериментальной математике у меня двойственное. Безусловно, компьютер это не только инструмент, но
и новая "философия", прежде всего, философия научной деятельности. Я это вполне прочувствовал на стыке математики и теорфизики.
В реальности, я как и Вы полностью проникся идеей Арнольда об "экспериментальной математике". Но здесь есть еще что-то...
Например, действительные числа нам нужны не для счета, а для "метафизики непрерывного". Как бы это не потерять.
Но, без сомнения именно за "экспериментальной математикой" наше ближайшее будущее (о далеком загадывать трудно), так что я вполне
Ваш сторонник.

[С. Когаловский]

«Манифест» представляет значимую работу, весьма полезную не только для учителей математики, но и для специалистов в области методики обучения математики. Авторы обращаются к изучению геометрии «посредством привлечения компьютерных визуализаций и компьютерных экспериментов к введению положений, к постановке и решению математических задач». Для реализации такого подхода они используют GeoGebra, один из программных продуктов образовательного и научного назначений, получивших обобщенное название «системы динамической геометрии». Особое достижение авторов видится в постановках предлагаемых ими задач для школьников, могущих служить энергичной движущей силой, направляющей читателя к усмотрению «положительных и отрицательных сторон того влияния на формирование стиля научного мышления школьников, которое может оказать привлечение к процессу обучения математике компьютерных экспериментов»; к усмотрению путей «разумного … их использования … в математическом образовании».
Усмотрению этого помогает лапидарная форма работы, естественная и целесообразная для манифеста. Такая форма помогает приобщению учителя к эффективным тактическим средствам воплощения продуктивной стратегии обучения математике. Но она должна предполагать разработку средств системного воплощения самой этой стратегии. Хочется надеяться, что авторами будет создана такая разработка, такая же яркая, как и «Манифест». Процесс ее создания, несомненно, приведет к уточнениям тезисов из «Манифеста». Но несомненно и то, что его результаты позволят в еще большей степени высветить эффективность предлагаемых авторами методических средств.

Представляется целесообразным обсудить первичным образом некоторые позиции авторов «Манифеста». Так, авторы пытаются следовать следующему тезису Дж. Брунера: «Школьник, изучающий физику, является физиком, и для него легче изучать науку, действуя подобно ученому-физику» [2]. (Естественно полагать, что, под легкостью изучения Брунер понимает легче достигаемую его эффективность). Ориентация на деятельность школьника, подобную деятельности ученого-физика, должна предполагать такой способ обучения, при котором приобщение учащихся к тем или иным научным понятиям осуществляется не прямым их введением, а посредством процессов восхождения к ним, отправляясь от уже освоенных понятий (или прото-понятий. А значит, речь здесь может идти разве лишь об ученом-физике той эпохи, в которой уровень развития физики был тот же, что и освоенный данным школьником (в данный момент). Но сегодняшняя школа должна поднять учащегося до уровня современных физических представлений. А это требует таких методов обучения, которые способствовали бы преодолению учащимся освоенных им способов мышления (и действования). Но и в этом не вся правда: поскольку речь идет прежде всего об общем образовании и общем развитии, то отвечающее целям такого образования и такого развития продуктивное обучение, скажем, физике, должно быть таким, чтобы школьник действовал не только и не столько как физик, сколько как «мета»-физик. Такое обучение способствует приобщению школьника к общим формам и способам поисково-исследовательской деятельности, а тем самым и лучшему освоению физики. Так действительно ли для школьника легче изучать науку, в частности, физику, действуя подобно ученому-физику 1?

Наличествующий опыт школьника, его знания, логика его рассуждений недостаточны для самостоятельного осознания им ограниченности возможностей освоенного им способа мышления и представляющей его понятийной системы. Столкновение с пограничными ситуациями, приводящее к осознанию ограниченности возможностей освоенного способа мышления, является движущей силой восхождения на новый уровень мышления, к освоению отвечающей ему новой системы понятий. Продуктивным средством осуществления этого является обращение к таким задачам, которые, на первый взгляд, относятся к привычным, освоенным, школьником ситуациям, но в действительности выводят за их пределы (см. [3], [4]). Предлагаемые в «Манифесте» задачи могут служить этой цели. Такова, например, задача 1, состоящая, в частности, в том, чтобы найти расстояние между точками O(0, 0) и A(0.000000000000001, 0). Обсуждая ее решение, авторы пишут: «…Полученное расстояние в 1000 раз меньше, чем линейные размеры атомного ядра! В настоящее время не существует приборов для измерения таких расстояний, да и в обозримом будущем они не появятся. Получается, что GeoGebra занимается отнюдь не той евклидовой геометрией, которая представлена в школьных учебниках... Так в сознании неопытного пользователя предупреждается возникновение иллюзии о чистой геометричности GeoGebra». Измерения в собственном смысле не являются предметом геометрии как науки. Напротив, уже условия задачи 1 относятся к «чистой» евклидовой геометрии, явившейся продуктом трансцендирования обыденных геометрических представлений, их идеальной моделью и потому относящейся (как продуктивная модель) не только к таким представлениям, но и к возможным геометрическим мирам. Они относятся к той аксиоматической, к той евклидовой геометрии, которая изучается в старшей школе. Но она изучается так, что школьник ставится в положение мольеровского Журдена, не подозревающего, что говорит прозой. И обращение к задаче 1 (при должной его акцентировке) представляет одно из естественных и продуктивных средств приведения школьников к пониманию природы изучаемой ими геометрии.

Авторы пишут: «Быть может, трудности многих школьников при освоении геометрии обусловлены именно тем, что в предшествующие годы они хорошо усвоили стиль мышления математика-экспериментатора». А далее они пишут: «Тем не менее, традиционное, «докомпьютерное» изучение математики в школе достаточно гармонично в том смысле, что, несмотря на все трудности, к концу изучения математики в основной школе большинство учащихся принимает как элементы аксиоматического метода изложения, так и конкретные геометрические факты, полученные в его рамках». С последним трудно согласиться: большинство тех учащихся, которые «принимают» элементы аксиоматического метода изложения и конкретные геометрические факты, полученные в его рамках, понимает и принимает все это с позиций «экспериментальных», точнее говоря, эмпирических, еще точнее говоря, - с позиции обыденных представлений. Что же касается природы тех трудностей, с которыми сталкиваются школьники при изучении аксиоматической геометрии, то она видится не столько в трудно преодолеваемой привычке следования «экспериментальному» стилю мышления, сколько в том, что школьники не приводятся к осознанию природы такой геометрии, а значит, и к осознанию места в ней прямых измерений как средств проверки.

Авторы утверждают «равноправие экспериментального и теоретического начал в математике» и направляют читателя на признание этого, что делает не просто важным, но необходимым прояснение того, как в работе понимаются теоретическое и экспериментальное начала.

«Манифест» начинается с апеллирования к утверждению В. И. Арнольда, что «математика — часть физики», которая является «экспериментальной, естественной наукой, частью естествознания» [1]. Безотносительно к тому, является ли математика частью физики, тезис, что математика — экспериментальная наука, истинен. Более того, всякая наука экспериментальна в следующем естественном смысле. Научная деятельность – это деятельность поисково-исследовательская, сопровождаемая испытаниями тех или иных установок, гипотез, направлений и средств поиска, его стратегий, строящихся оптимального варианта организации текста, представляющего продукт такой деятельности – это тоже эксперимент2 [6].

Но и при таком, весьма широком, понимании эксперимента утверждать о равноправии экспериментального и теоретического начал в математике было бы возможно разве лишь при игнорировании существа теоретического начала. А при понимании экспериментального начала в общеупотребительном смысле, как связанного с эмпирическим уровнем деятельности, утверждение равноправия экспериментального и теоретического начал в математике становится кричаще неверным.

Однако, как нам представляется, было бы поспешным заключать из сказанного, что авторы «Манифеста» впадают в грубые ошибки. Представляется, что эту работу, во всей ее данности, следует рассматривать как обращенную к учителям математики и приведенные тезисы из нее понимать не как утверждения (долженствующие подлежать оценке как истинные или ложные), а как провоцирующие средства, помогающие учителям столкнуться с ситуациями, приводящими к осознанию, к усмотрению необходимости пересмотра типичного для них (по крайней мере, для многих из них) понимания теоретического уровня мышления и природы математики. И тогда мы увидим в ней как эффективное средство, помогающее восхождению учителя на тот уровень обучения математике, который отвечает стандартам нового поколения.

Литература
1. Арнольд В. И. О преподавании математики // Успехи математических наук. – 1998 – т. 53, вып. 1 (319).
2. Брунер Дж. Процесс обучения. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. – 84 с.
3. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования // Школьные технологии. 2011. №6. С.
4. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования. LAP LAMBERT Academic Publishing – 2012.
5. Когаловский С. Р. Место и роль метапредметной деятельности в обучении математике // Школьные технологии, 2014 - №3. - С. 71-77
6. Когаловский С. Р. Математическая деятельность как деятельность метапредметная // Вестник Ивановского государственного университета. Серия «Гуманитарные науки». - 2014 - вып. 3(7). – С. 55-63.


1 Да и всякую ли науку «для него легче изучать, действуя подобно ученому-физику»?

2 Одна из важных задач всякой науки – сохранение ее достижений посредством эффективного системного их представления, являющегося необходимым условием ее дальнейшего развития, сохранение их как Живого Знания, а значит, воспроизводство носителей ее достижений. Применительно к математике – это задача формирования и развития продуктивного математического образования. Она не может решаться без обращения к педагогическим экспериментам [6].

[С.И.Калинин]

Мысли авторов, изложенные в Манифесте, замечательны, в современных образовательных условиях их нельзя не принимать. Работа профессоров А.В. Ястребова и М.В. Шабановой своевременна и актуальна.
С обсуждаемыми в ней идеями обязательно надо знакомить и действующих, и будущих учителей математики (и не только учителей математики). Данные идеи сегодня непременно должны быть в поле зрения организаторов различных курсов повышения квалификации учителей математики. Следует констатировать, что характеризуемая работа существенно развивает тезисы Л.Д. Кудрявцева, который одним из первых в отечественной образовательной математике поставил вопросы об "аккуратном" использовании компьютера в обучении.

С.И. Калинин (Вятский гос. гуманитарный университет)